Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

180 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
La aplicación φ induce de modo natural el morfismo de fibrados vectoriales
entre los algebroides de Lie T R k y T Q,
Además se verifica
T R k
τ R k
Rk Φ = (T φ, φ)
T φ
φ
T Q
Q
τQ
d(Φ ∗ µ) = Φ ∗ (dµ)
para toda l-forma µ en Q, entonces Φ = (T φ, φ) es un morfismo de algebroides de
Lie, (véase la sección 5.1.4 para recordar la definición de morfismo de algebroides
de Lie).
A continuación vamos a recordar la definición de la primera prolongación de φ.
Consideremos la base canónica de secciones de τRk,
∂ ∂
, . . . ,
∂t1 ∂t k
.
Recordemos que la primera prolongación φ (1) de φ, se escribe del siguiente modo:
φ (1) (t) = (Ttφ( ∂
∂t1
), . . . , Ttφ(
t
∂
∂t k
)) .
t
Lo que acabamos de hacer es describir las soluciones de las ecuaciones de campo
Euler-Lagrange, en el caso estándar, desde un nuevo punto de vista que nos permite
pensar una solución como un morfismo de algebroides de Lie.
Volviendo al caso de algebroides, para definir el objeto análogo a la primera
prolongación de una solución, y teniendo en cuenta el punto de vista anterior, vamos
a considerar un morfismo de algebroides de Lie Φ = (Φ, Φ)
T R k
τ R k
Rk Φ
Φ
E
τ
Q