Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

86 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
que son el primer grupo de las ecuaciones de campo lagrangianas no-holonómicas
introducidas en (3.7).
Finalmente, de (3.11) y puesto que XA
∈ T M se tiene
M
0 = XA(Φα) = v i A
∂Φα
j ∂Φα
+ (XA)
∂qi B
∂v j
B
y en particular evaluando la función anterior en φ (1) (t) ∈ T 1 k Q se obtiene
0 = XA(Φα)φ (1) (t) = ∂φi
∂tA
t
∂Φα
∂q i
φ (1) (t)
+ ∂2 φ j
∂tA∂tB
t
∂Φα
∂v j
B
φ (1) (t)
= ∂(Φα ◦ φ (1) )
∂t A
entonces Φα ◦ φ (1) es una función constante. Puesto que φ (1) (0) ∈ M se obtiene
Φα(φ (1) (0)) = 0 y así
Φα(φ (1) (t)) = 0,
por tanto se verifica el segundo grupo de las ecuaciones (3.7).
Así, se obtiene que φ es solución de las ecuaciones de campo lagrangianas noholonómicas
(3.7).
3.2. El proyector no-holonómico.
La finalidad de esta sección es mostrar que para una teoría de campos de primer
orden no-holonómica, en el sentido descrito en la sección anterior, se puede construir,
bajo cierta condición adicional, un operador proyección que lleva soluciones
de la ecuación (1.45) para el problema lagrangiano sin ligaduras en soluciones de las
ecuaciones geométricas no-holonómicas (3.8).
Como se describió en la sección anterior, consideramos un problema con ligaduras
con Lagragiano regular L, variedad de ligaduras M ⊂ T 1 k Q y distribución de
ligaduras S. Ahora imponemos la siguiente condición de compatibilidad: para
cada wq ∈ M
TwqM ∩ S(wq) = {0} . (3.12)
t