Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.2 El proyector no-holonómico. 87
Si M está definida localmente por las m ecuaciones Φα(qi , vi A ) = 0 y, si S está localmente
generada por los campos de vectores Zα (véase Subsección 3.1.3), un cálculo
directo nos permite afirmar la siguiente caracterización de la condición de compatibilidad:
Proposición 3.5 La condición de compatibilidad es equivalente a la regularidad de
la matriz
Zα(Φβ)(wq)
en cada punto wq ∈ M.
Demostración:
Sea v ∈ TwqM ∩ S(wq) entonces:
1≤α,β≤m
(i) v ∈ S(wq) y S(wq) =< Z1(wq), . . . , Zm(wq) > entonces v = v α Zα(wq), para
algunos coeficientes v α .
(ii) v ∈ TwqM entonces
0 = v(Φβ) = v α Zα(Φβ)(wq), 1 ≤ β ≤ m . (3.13)
Supongamos que la matriz Zα(Φβ)(wq) es regular, entonces de (3.13) se obtiene
que vα = 0, α = 1, . . . , m y por tanto v = 0. Esto es, la condición de compatibilidad
se verifica.
Recíprocamente, suponemos ahora que la condición de compatibilidad se tiene. Si
la matriz Zα(Φβ)(wq) no es regular, entonces existe algún vector v = vαZα(wq) =
0 verificando v(Φβ) = 0, 1 ≤ β ≤ m y por tanto v ∈ TwqM ∩ S(wq)
= {0}. Obtene-
mos así a una contradicción que parte de suponer que la matriz Zα(Φβ)(wq)
no es
regular. Así, la condición de compatibilidad implica la regularidad de Zα(Φβ)(wq) .
Como veremos a continuación, la condición de compatibilidad nos permite definir
una descomposición del tangente a T 1 k Q en los puntos de la subvariedad de ligaduras
M.