Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

100 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Es fácil comprobar que el siguiente campo de vectores se anula a lo largo de
las forma de F en los puntos de la subvariedad de ligaduras M definida por las
ecuaciones (3.19):
ξ = −Rv 2 ∂
2
∂q1 + Rv1 ∂ ∂
2 + .
∂q2 ∂q3 Este campo de vectores generalizado se corresponde con la sección de g F → Q dada
por ξ = (−Rv 2 2, Rv 1 2, 1, 0, 0, 0, 0) .
Como ξ(L) = 0 el Teorema 3.15 se puede aplicar y obtenemos la ecuación momento
no-holonómica (véase [139])
R
ρ ∂2φ1 ∂t1 ∂φ6
−
∂t1 ∂t2 ∂φ 2
− R
∂t2
ρ ∂2φ2 ∂t1 ∂φ7
−
∂t1 ∂t2 1 ∂φ
∂t2 = α ∂2φ3 ∂t1∂t1 − β ∂2φ3 ∂t2∂t Esta ley de conservación no-holonómica también se puede obtener directamente
de las ecuaciones no-holonómicas sustituyendo las dos primeras ecuaciones en (3.20)
en la tercera ecuacion. Desaforturnadamente, el conocer esta ley de conservación
no-holonómica no nos simplifica la resolución de las ecuaciones de campo.
Observación 3.18 La ecuación momento que hemos obtenido aquí es la misma que
la obtenida para simetrías espaciales por M. Martín de Diego et al. en [139], dentro
del marco multisimpléctico.
3.4.2. Ligaduras holonómicas.
Una distribución D en Q de codimensión m induce una subvariedad de ligaduras
M ↩→ T 1 k Q definida como sigue: (v1q, . . . , vkq) es un elemento de M si vAq ∈ D(q)
para cada A (A = 1, . . . , k).
En coordenadas locales, si el anulador, D 0 , de la distribución D está generado
por las 1-formas en Q, ϕα = (ϕα)idq i (α = 1, . . . , m), entonces M es el conjunto de
soluciones de las mk ecuaciones
Φ A α(v1q, . . . , vkq) = 0 , 1 ≤ α ≤ m, 1 ≤ A ≤ k ,
donde las mk funciones ΦA α ∈ C∞ (T 1 k Q) están localmente dadas por:
Φ A α(v1q, . . . , vkq) = [(τ k Q) ∗ ϕα](vAq) = (ϕα)iv i A .
2 .