Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

116 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
Así tenemos el isomorfismo de C ∞ (T 1 k Q)-módulos
Sec((τ k Q )∗ τ k Q ) ∼ = Γ τ k Q (τ k Q )
Z ≡ Z
donde Γ τ k Q (τ k Q ) denota el conjunto de secciones de τ k Q a lo largo de τ k Q .
4.1.2. La aplicación i : T 1 k Q ×Q T 1 k Q −→ V (T 1 k Q) ⊂ T (T 1 k Q).
En este apartado definiremos una aplicación en el fibrado T 1 k Q×QT 1 k Q, que hemos
introducido en el apartado anterior, y que nos permitirá dar una nueva definición de
los campos de vectores canónicos en T 1 k Q y del levantamiento vertical A-ésimo de
los vectores tangentes a Q a vectores tangentes a T 1 k Q, (estos conceptos ya fueron
introducidos, en la forma usual, en la sección 1.2.1).
Denotamos por V (T 1 k Q) el subfibrado vertical de τ k Q : T 1 k Q → Q y definimos la
aplicación
i : T 1 k Q ×Q T 1 k Q −→ V (T 1 k Q) ⊂ T (T 1 k Q)
por
i(vq, wq) =
=
k d
(vq + s(0, . . . , wAq, . . . , 0))
ds 0
A=1
k d
(v1q, . . . , vAq + swAq, . . . , vkq) .
ds 0
A=1
Considerando un sistema local de coordenadas (qi , vi A )1≤i≤n, 1≤A≤k en T 1 k Q es
sencillo comprobar que se verifica:
i(vq, wq) =
k
∂
w
A=1
i A
∂vi
vq A
. (4.3)
Observación 4.2 Teniendo en cuenta la expresión (4.3) obtenemos que la aplicación
i se puede escribir como sigue:
i(vq, wq) =
k
A=1
(wAq) VA (vq)
⋄