Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

174 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
(1) ξ toma valores en Adm(E) .
(2) ξ es un sopde, esto es, verifica τ k
1 ◦ ξ = id k
⊕E .
(3) J A (ξA) = ∆A para todo A = 1, . . . , k.
Demostración:
La equivalencia entre (1) y (2) es una consecuencia directa de la definición
del conjunto de puntos admisibles (5.37). La equivalencia entre (1) y (3) es una
consecuencia directa de la definición de J A , ∆A y ξ VA .
Vamos a calcular la expresión local de un sopde ξ = (ξ1, . . . , ξk)
Consideremos {Xα, V A α} una base local de secciones de τ k
entonces cada sección
se escribe en esta base como sigue
ξA: k
⊕ E → T E ( k
⊕ E) = E ×T Q T ( k
⊕ E)
ξA = ξ α AXα + (ξA) α BV B α
para ciertas funciones ξ α A , (ξA) α B ∈ C∞ ( k
⊕ E).
⊕E : TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E,
Puesto que ξ es un sopde las secciones ξ1, . . . , ξk satisfacen las igualdades
J A (ξA) = ∆A, 1 ≤ A ≤ k
de donde obtenemos que la expresión local de ξA es:
siendo (ξA) α B
funciones en k
⊕ E.
ξA = y α AXα + (ξA) α BV B α
Como se observa en la definición de sopde, éste es una sección de (TE ) 1 k
k ( ⊕ E) y
por tanto, tal como hemos visto en el apartado anterior, podemos definir un campo
de k-vectores en k
⊕ E asociado al mismo.