Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

242 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
El siguiente diagrama conmutativo recoge la notación que emplearemos a lo largo
de esta memoria para referirnos a las proyecciones canónicas:
definidas por:
R k × T 1 k Q (ˆπ R k )1,0
pQ
R
(ˆπ
Rk )1
k × Q
ˆπ Rk
Rk ˆπ R k(t, q) = t , (ˆπ R k)1,0(t, v1q, . . . , vkq) = (t, q) , pQ(t, v1q, . . . , vkq) = q ,
ˆπQ(t, q) = q , (ˆπ R k)1(t, v1q, . . . , vkq) = t .
B. Campos de vectores canónicos en R k × T 1 k Q.
Un objeto geométrico importante en el fibrado Rk ×T 1 k Q es el campo de vectores
de Liouville generalizado.
Definición 6.16 El campo de vectores de Liouville ∆ sobre Rk ×T 1 k Q se define
como el generador infinitesimal del flujo dado por
ˆπQ ˆπQ
R × (R k × T 1 k Q) −→ Rk × T 1 k Q
Q
(s, (t, v1q, . . . , vkq)) ↦→ (t, e s v1q, . . . , e s vkq) .
Su expresión en coordenadas locales es
∆ =
i,A
∂
v i A
∂v i A
. (6.15)
Definición 6.17 Los campos de vectores canónicos ∆1, . . . , ∆k sobre R k ×T 1 k Q
se definen como los generadores infinitesimales de los flujos dados por
R × (R k × T 1 k Q) −→ Rk × T 1 k Q
(s, (t, v1q, . . . , vkq)) ↦→ (t, v1q, . . . , vA−1q , es vAq, vA+1q , . . . , vkq) ,