Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.3 lagrangianos equivalentes. 67
pero como ω A L1 = ωA L2 , esto implica que dEL1 = dEL2, y por tanto EL1 = EL2, salvo
constantes.
Recíprocamente, si EL1 = EL2 (salvo constantes), entonces para cada X =
(X1, . . . , Xk) ∈ Xk L1 (T 1 k Q), se tiene
0 =
k
A=1
ıXA ωA L1 − dEL1 =
k
A=1
ıXA ωA L2
− dEL2
en donde estamos usando que ω A L1 = ωA L2 , 1 ≤ A ≤ k. Así, X ∈ Xk L2 (T 1 k Q).
De modo análogo se demuestra que si X ∈ X k L2 (T 1 k Q), entonces X ∈ Xk L1 (T 1 k Q).
La definición 2.33 de lagrangianos gauge equivalentes garantiza que el conjunto
de campos de k-vectores solución de las ecuaciones geométricas de Euler-Lagrange
(1.45) asociadas a los dos lagrangianos es el mismo.
En la siguiente proposición demostraremos que si dos lagrangianos son gauge
equivalentes entonces tenemos un resultado análogo, al que acabamos de demostrar,
relativo a las soluciones de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange (1.44) definidas
por cada uno de los lagrangianos.
Proposición 2.35 Si las funciones lagrangianas L1, L2 ∈ C∞ (T 1 k Q) son gauge equivalentes
entonces, las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange (1.44) asociadas a L1
y L2 tienen las mismas soluciones.
Demostración:
Si L1, L2 ∈ C∞ (T 1 k Q) son dos lagrangianos gauge equivalentes, entonces por la
proposición 2.34 sabemos que se verifica:
ω A L1 = ωA L2 , para A = 1, . . . , k y EL1 = EL2, (salvo constantes).
De la condición ω A L1 = ωA L2 y de la expresión local de ωA L
∂ 2 L1
∂q j ∂v i A
= ∂2 L2
∂q j ∂v i A
y
∂ 2 L1
∂v j
B ∂vi A
= ∂2 L2
∂v j
B ∂vi A
,(1.33), deducimos que
. (2.33)