Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.2.2 Formalismo hamiltoniano. 345
B. Caso particular: formalismo hamiltoniano k-cosimpléctico estándar
Para finalizar esta sección, y de modo análogo a como se hizo en el formalismo
lagrangiano en algebroides de Lie vamos a describir el formalismo hamiltoniano
k-cosimpléctico estándar (descrito en el capítulo 6, sección 6.1.2 ) como un caso
particular de la teoría aquí desarrollada.
Sea E = T Q, la aplicación ancla ρ es la identidad en T Q, y las constantes de
estructura son C γ
αβ = 0.
En este caso se tiene:
La variedad Rk × k
⊕ E∗ se identifica con Rk × (T 1 k )∗Q, TE (Rk × k
⊕ E ∗ ) con
T (Rk × T 1 k Q) y (TE ) 1 k (Rk × k
⊕ E ∗ ) con T 1 k (Rk × (T 1 k )∗Q). Una sección
ξ = (ξ1, . . . , ξk) : R k × k
⊕ E ∗ → (T E ) 1 k(R k × k
⊕ E ∗ )
se corresponde con un campo de k-vectores ξ = (ξ1, . . . , ξk) en R k × (T 1 k )∗ Q,
esto es, ξ es una sección de
τ k
R k ×(T 1 k )∗ Q : T 1 k (R k × (T 1 k ) ∗ Q) → R k × (T 1 k ) ∗ Q.
Sea f una función en R k × (T 1 k )∗ Q entonces
d TE (R k × k
⊕E ∗ ) (Y ) = df(Y )
donde df denota la diferencial usual y Y es un campo de vectores en la variedad
R k × (T 1 k )∗ Q.
Se verifica que
Ω A (X, Y ) = ω A L (X, Y ), (A = 1, . . . , k) ,
donde ω 1 , . . . , ω k denota las 2-formas de la estructura k-cosimpléctica en R k ×
(T 1 k )∗ Q.
Teniendo en cuenta los cuatro comentarios anteriores la ecuación (8.46) se
escribe en este caso particular como sigue:
dt A (ξB) = δ A B
,
k
A=1
ıξA ωA = dH −
k
A=1
∂H
∂t A dtA .