Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

Apéndice A
Simetrías y leyes de conservación
En este apéndice se desarrollan las demostraciones completas de algunas proposiciones
del capítulo 2. El motivo de incluirlas en este apéndice y no en el capítulo
es por ser demasiado extensas y por ello dificultar la lectura del correspondiente
capítulo de la memoria aquí presentada.
A. Caso hamiltoniano.
La siguiente proposición se corresponde con la Proposición 2.7 del capítulo 2.
Proposición Sea Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q un difeomorfismo. Si
Φ ∗ ω A = ω A , 1 ≤ A ≤ k y Φ ∗ H = H (salvo constantes).
entonces Φ es una simetría del sistema hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H).
Demostración:
Tenemos que probar que, si ψ: U0 ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q es una solución de las ecuaciones
de Hamilton-de Donder-Weyl (1.13), entonces Φ ◦ ψ es también una solución,
esto es,
(a)
∂H
∂q i
(Φ◦ψ)(t)
= −
k
A=1
∂(p A i ◦ Φ ◦ ψ)
∂t A
t
, (b)
∂H
∂p A i
(Φ◦ψ)(t)
= ∂(qi ◦ Φ ◦ ψ)
∂t A
Considerando un sistema local de coordenadas podemos escribir el difeomorfismo
Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q como sigue:
Φ(q j , p B j ) = (Φ i (q j , p B j ), Φ A i (q j , p B j ))
353
t
.