Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.2 Simetrías de Cartan y Teorema de Noether. 63
Lema 2.29 Consideremos una aplicación g = (g 1 , . . . , g k ) : Q → R k y Z un campo
de vectores en Q. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(1) Z C (L) = dT g.
(2) L Z Cθ A L = d(τ k Q )∗ g A , 1 ≤ A ≤ k y Z C (EL) = 0 ,
Demostración:
Este resultado es consecuencia directa de un cálculo en coordenadas locales.
Considerando un sistema de coordenadas locales (qi , vi A ) en T 1 k Q, de las expresiónes
locales (1.37) y (2.31) de ZC y dT g, obtenemos que la condición ZC (L) = dT g
se escribe localmente como sigue:
i ∂L
Z
∂qi + vi ∂Z
B
j
∂qi ∂L
∂v j = v
B
i B
de donde, calculando la parcial ∂/∂vk C , obtenemos
Z i ∂2 L
∂q i ∂v k C
+ ∂Zj
∂q k
∂L
∂v j
C
∂gB ,
∂qi + v i ∂Z
B
j
∂qi ∂2L ∂v j
B∂vk C
= ∂gC
. (2.32)
∂qk Tenemos que probar la familia de igualdades de (2) Para cada A, 1 ≤ A ≤ k, de
las expresiones locales (1.37), (1.32) y (1.33) de ZC , θA L y ωA L , obtenemos
L Z Cθ A L = dı Z CθA L − ı Z CωA L
=
Zi ∂2L ∂qi∂v k +
A
∂Zj
∂qk = ∂gA
∂q k dqk = d (τ k Q) ∗ g A ,
∂L
∂v j + v
A
i ∂Z
B
j
∂qi ∂2L ∂v j
B∂vk
dq
A
k
en donde en la penúltima igualdad hemos usado la hipótesis (2.32).
Por otra parte,
Z C (EL) = Z C (∆L − L) = Z C (∆L) − Z C (L) = Z C (∆L) − dT g
por tanto para probar que Z C (EL) = 0 es suficiente comprobar que Z C (∆L) = dT g.
Ahora bien, tenemos
∂L
ZC (∆L) = ZC (vi A
∂vi A
= v i A
) = v i AZ j ∂2L ∂qj ∂vi + v
A
i Av j ∂Z
B
k
∂qj
Zj ∂2L ∂qj ∂vi + v
A
j ∂Z
B
k
∂qj ∂ 2 L
∂v k B ∂vi A
+ ∂Zk
∂q i
∂ 2 L
∂v k B ∂vi A
∂L
∂v k A
+ v i ∂Z
A
k
∂qi ∂L
∂v k A
= v i A
∂g A
∂q i = dT g