Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.1.1 Conexiones en ˆπ R k : R k × Q → R k . 275
Definición 7.5 Sean (t, q) ∈ R k × Q y ut ∈ TtR k entonces el levantamiento
horizontal de ut por la conexión ∇ en el punto (t, q) es el vector tangente
∇(t,q)(ut) ∈ T(t,q)(R k × Q)
donde ∇(t,q) se piensa como una aplicación lineal TtR k → T(t,q)(R k × Q).
Observación 7.6 Para cada (t, q) ∈ R k × Q se verifica que ∇(t,q) es una aplicación
lineal
∇(t,q) : T(t,q)(R k × Q) → T(t,q)(R k × Q).
Además ∇ es ˆπ R k-semibásica, es decir,
∇(t,q) ∈ ((ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k )) (t,q) ⊗ T(t,q)(R k × Q),
i ∂
por lo que se anula sobre los campos de la forma v por ello se puede pensar
∂qi como una aplicación lineal definida en TtRk , esto es, una aplicación lineal
TtR k → T(t,q)(R k × Q) .
En el siguiente lema definimos el levantamiento horizontal de campos de vectores
de R k a R k × Q.
Lema 7.7 Toda conexión en el fibrado ˆπ R k : R k × Q → R k induce un levantamiento
horizontal de campos de vectores
X(R k ) → X(R k × Q)
X → X H
Si X es un campo de vectores en R k entonces su levantamiento horizontal X H
es el único campo de vectores horizontal que se proyecta en X, esto es,
(ˆπ R k)∗(X H ) = X.
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