Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.3.2 Formalismo lagrangiano con conexiones llanas. 295
De este modo, escribiendo las ecuaciones geométricas de Hamilton (6.9) para la
estructura k-cosimpléctica (dtA , (ωL) A ∇ , V ) y reemplazando H por E∇ L , se obtiene el
siguiente sistema de ecuaciones:
dt A (YB) = δ A B ,
k
A=1
ı YA (ωL) A ∇ = dE ∇ L −
para algún campo de k-vectores (Y1, . . . , Yk).
k
A=1
(RL) ∇ A(E ∇ L )dt A ,
(7.44)
Proposición 7.22 Sea L : Rk ×T 1 k Q → R un lagrangiano regular. Si la conexión ∇
tiene curvatura cero entonces las ecuaciones geométricas de Euler-Lagrange (6.43)
y (7.44) asociadas la conexión estándar y a la conexión ∇, repectivamente, tienen
las mismas soluciones.
Demostración:
Supongamos que cada YA se escribe localmente como sigue:
YA = [YA]B
∂
i ∂
+ [YA]
∂tB ∂qi + [YA] i B
para ciertas funciones [YA]B, [YA] i , [YA] i B ∈ C∞ (R k × T 1 k Q).
A partir de un cálculo en coordenadas locales, análogo al desarrollado en la
Sección 7.2.2, y utilizando la regularidad del lagrangiano L, así como las expresiones
locales (7.38), (7.41) y (7.43) de (ωL) A ∇ y (RL) ∇ A deducimos que (Y1, . . . , Yk) es
solución de (7.44) si, y sólo si
y
[YA]B = δ B A, [YA] i = v i A,
∂L
∂v i A
i ∂ΓC ∂Γ
+ Γj
∂tA A
i C
k
A=1
∂qj − ∂ΓiA ∂t
YA
− Γj
C C
∂
∂v i A
∂L
∂v k A
= ∂L
∂q k
∂Γi A
∂qj
= 0 . (7.45)
Además teniendo en cuenta que la curvatura de la conexión es cero y que
∂Γi C ∂Γ
+ Γj
∂tA A
i C
∂qj − ∂ΓiA ∂t
− Γj
C C
∂Γ i A
∂q j