Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.5 Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. 217
Lema 5.53 Si el lagrangiano L es hiperregular, entonces T E Leg es un difeomorfismo.
Demostración:
La condición de que L sea hiperregular significa que Leg es un difeomorfismo
global, entonces existe su inversa
Leg −1 : k
⊕ E ∗ → k
⊕ E.
Definimos la inversa de T E Leg como la aplicación
que verifica
(T E Leg) −1 : T E ( k
⊕ E ∗ ) → T E ( k
⊕ E)
(T E Leg) −1 (aq, vb ∗
) = q aq, (Leg −1 )∗(b ∗ q)(vb ∗ q )
,
siendo aq ∈ E, b ∗ q ∈ k
⊕ E ∗ y (aq, vb ∗ q ) ∈ TE ( k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E ∗ ).
Ahora, es sencillo comprobar que T E Leg es un difeomorfismo.
El siguiente teorema establece la equivalencia entre la formulación lagrangiana
y hamiltoniana k-simpléctica en algebroides de Lie.
Teorema 5.54 Sea L un lagrangiano hiperregular. Existe una correspondeencia biyectiva
entre el conjunto del aplicaciones η : Rk → k
⊕ E tales que η es una sección
integral de una sección solución ξL del las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.52) y
el conjunto de aplicaciones ψ : Rk → k
⊕ E ∗ que son secciones integrales de alguna
solución ξH de las ecuaciones hamiltonianas (5.70).
Demostración:
Sea ξL = (ξ1 L , . . . , ξk k
L ) : ⊕ E → (TE ) 1 k
k ( ⊕ E) una solución de las ecuaciones geométricas
de Euler-Lagrange en algebroides de Lie (5.52), entonces ξH = (ξ1 H , . . . , ξk H )
donde cada
ξ A H = T E Leg ◦ ξ A L ◦ (Leg) −1