Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.1.2 Simetrías de Cartan y Teorema de Noether. 49
Aplicando la regla de la cadena, por un cálculo directo uno prueba (a) como
consecuencia de (1.13), (2.3), (2.4), (2.5), (2.8) y (2.9), y teniendo en cuenta (1.13),
(2.7), (2.8) y (2.9), uno prueba (b).
Observación 2.8 El caso k = 1 se corresponde con la Mecánica Clásica hamiltoniana
Autónoma. En este caso el anterior resultado puede encontrarse en [93].
2.1.2. Simetrías de Cartan y Teorema de Noether.
La proposición anterior nos permite afirmar que un difeomorfismo
Φ: (T 1 k ) ∗ Q → (T 1 k ) ∗ Q,
que verifique ciertas condiciones, es una simetría del sistema hamiltoniano k-simpléctico
((T 1 k )∗ Q, ω A , H). Las simetrías que verifican las condiciones del enunciado de la
proposición anterior serán importantes a lo largo del capítulo ya que son las simetrías
a las que les asociaremos leyes de conservación. Por ese motivo, introducimos un
nombre particular (que aparece en la siguiente definición) para referirnos a este tipo
de simetrías. Siguiendo la nomenclatura de la Mecánica introducimos las definiciones
siguientes:
Definición 2.9
(1) Una simetría de Cartan (o Noether) de un sistema hamiltoniano k-simpléctico
((T 1 k )∗ Q, ω A , H) es un difeomorfismo Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q tal que,
a) Φ ∗ ω A = ω A , para A = 1, . . . , k.
b) Φ ∗ H = H (salvo constantes).
(2) Una simetría de Cartan (o Noether) infinitesimal es un campo de vectores
Y ∈ X((T 1 k )∗ Q) verificando :
a) LY ω A = 0, para A = 1, . . . , k.
b) LY H = 0.
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