Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.2 Simetrías de Cartan y Teorema de Noether. 61
Sea φ : R k → Q una solución de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange
(1.44), entonces de (1.44), (2.27), (2.28) y (2.29) obtenemos
=
k ∂(F
A=1
A ◦ φ (1) )
∂tA k
A
∂F
=
t ∂q
A=1
k
∂φ
φ (1) (t)
k
∂tA
+
t
∂FA
∂vk
B
k
Y
A=1
i (φ (1) 2 ∂ L
(t))
∂qk∂v i
∂φ
A φ (1) (t)
k
∂tA
+
t
∂2L
k
− Y i (φ (1) (t)) ∂2L
+ Y i B(φ (1) (t)) ∂2L ∂q
A=1
i∂v k
A
φ (1) (t)
= Y i (φ (1) (t)) ∂L
φ (1) (t)
∂q i
− Y i (φ (1) (t)) ∂L
∂qi
∂
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tB
t
∂vk B∂vi ∂
A
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tB
t
φ (1) (t)
∂vi B∂vk
A
φ (1) (t)
= 0 (en Up)
k ∂φ
∂tA
esto es, F = (F 1 , . . . , F k ) es una ley de conservación de las ecuaciones de Euler-
Lagrange.
De modo análogo a como ocurría en el caso hamiltoniano se verifica:
Teorema 2.25 Si Y ∈ X(T 1 k Q) es una simetría de Cartan infinitesimal de un sistema
lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL) entonces, para cada (X1 L , . . . , Xk L ) ∈
Xk L (T 1 k Q) solución de las ecuaciones algebraicas de Euler-Lagrange (1.45), se verifica
Demostración:
k
A=1
L X A L F A = 0 (en Up) .
Es consecuencia del Teorema 2.24 y de (2.13).
Observación 2.26 En la Mecánica lagrangiana Autónoma los dos Teoremas que
se acaban de enunciar son equivalentes. En nuestro contexto esta equivalencia no se
tiene como justifica la observación 2.18.
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