Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.4.1 Elementos geométricos. 205
De (5.61) obtenemos que el campo de vectores en k
⊕ E ∗ asociado a ξA tiene la
siguiente expresión local:
τ ∗
ρ (ξA) = ρ i αξ α A
D. Las secciones de Liouville
∂
∂
∂qi + (ξA) B α
∂yB α
∈ X( k
⊕ E ∗ ), 1 ≤ A ≤ k . (5.65)
A continuación vamos a introducir k secciones del fibrado vectorial
(T E ( k
⊕ E ∗ )) ∗ → k
⊕ E ∗ ,
dual del fibrado prolongación que estamos considerando en este apartado. Estas
secciones nos permitirán describir las ecuaciones de Hamilton en el contexto que nos
proporcionan los algebroides de Lie.
Definición 5.44 Se llaman secciones de Liouville a las secciones del fibrado
vectorial (T E ( k
⊕ E ∗ )) ∗ → k
⊕ E ∗ definidas por:
en donde Θ A b ∗ q
Θ A : k
⊕ E ∗ −→ (T E ( k
⊕ E ∗ )) ∗
b ∗ q ↦−→ Θ A b ∗ q
es la función definida como sigue:
ΘA b ∗ q : (TE ( k
⊕ E ∗ ))b ∗ q ≡ Eq ×T Q Tb ∗ k
( ⊕ E q ∗ ) −→ R
1 ≤ A ≤ k ,
(aq, vb ∗ q ) ↦−→ ΘA b ∗ q (aq, vb ∗ q ) = b ∗ Aq (aq) ,
para cada aq ∈ E, b∗ q = (b1 ∗
q, . . . , bk ∗
q) ∈ k
⊕ E ∗ y vb ∗ q ∈ Tb ∗ k
( ⊕ E q ∗ ).
por
A partir de las 1-secciones Θ 1 , . . . , Θ k se definen las 2-secciones
Ω A : k
⊕ E ∗ → (T E ( k
⊕ E ∗ )) ∗ ∧ (T E ( k
⊕ E ∗ )) ∗ , 1 ≤ A ≤ k
Ω A = −dΘ A ,
(5.66)