Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.4 Formalismo lagrangiano. Ecuaciones de Euler - Lagrange. 35
Obsérvese que los flujos τs : Q → Q considerados en la definición anterior están
generados por campos de vectores en Q que se anulan en la frontera de φ(U0).
El problema variacional, asociado a un lagrangiano L, consiste en encontrar los
extremales de la acción integral J.
En la siguiente proposición caracterizaremos los extremales de la acción J asociada
a un lagrangiano L.
Proposición 1.47 Sean L : T 1 k Q → R una función lagrangiana y φ ∈ C∞ C (Rk , Q).
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) φ : U0 ⊂ R k → Q es un extremal del problema variacional asociado a L.
(2) Para cada campo de vectores Z en Q, que se anula en los puntos de la frontera
de φ(U0), se verifica:
(LZCL) ◦ φ (1) (t)d k t = 0 ,
U0
donde Z C es el levantamiento completo de Z a T 1 k Q.
(3) φ es solución de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange (1.42).
Demostración:
(1 ⇔ 2) Sea Z ∈ X(Q) un campo de vectores en Q, con grupo uniparamétrico τs
y que se anula en la frontera de φ(U0).
Recordemos que el flujo asociado a Z C es T 1 k τs.
Puesto que T 1 k τs ◦ φ (1) = (τs ◦ φ) (1) , entonces se verifica
d
J(τs ◦ φ) =
ds s=0
d
ds s=0 Rk (L ◦ (τs ◦ φ) (1) )(t)d k t
1
= lím
s→0 s Rk (L ◦ (τs ◦ φ) (1) )(t)d k
t −
Rk 1
= lím
s→0 s
=
=
R k
R k
lím
s→0
Rk (L ◦ T 1 k τs ◦ φ (1) )(t)d k t −
1
s
R k
L(T 1 k τs ◦ φ (1) (t)) − L(φ (1) (t)
(LZ CL) ◦ φ (1) (t)d k t ,
(L ◦ τ0 ◦ φ (1) )(t)d k
t
(L ◦ φ (1) )(t)d k
t
d k t