Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

80 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Observación 3.1 Una situación de especial interés se da cuando F está determinado
por M a través del denominado “Principio de Chetaev ”, es decir, si la subvariedad
de ligaduras M viene dada por la anulación de m funciones independientes Φα en
T 1 k Q, F está generado por la familia de 1-formas Rk -valuadas y semibásicas:
ηα = (J 1∗ (dΦα), . . . , J k∗ (dΦα)) = ( ∂Φα
∂v i 1
dq i , . . . , ∂Φα
∂v i k
dq i ) , 1 ≤ α ≤ m ,
donde {J 1 , . . . , J k } denota la estructura k-tangente de T 1 k Q definida en (1.24).
En esta situación y considerando el caso particular k = 1 obtenemos que el
fibrado F está generado por J ∗ dΦα, esto es, las formas de ligadura o fuerzas de
reacción de la Mecánica lagrangiana no-holonómica, véase M. de León, D. Martín
de Diego y A. Santamaría-Merino, [75]. Por este motivo hemos denominado al fibrado
F , fibrado de formas de ligadura.
3.1.3. La distribución de ligaduras.
En este apartado, mostraremos que el fibrado de formas de ligadura F nos permite
definir una distribución S, a lo largo de M, llamada la distribución de ligaduras.
En la subsección 3.2 haremos uso de esta distribución para poder definir un
proyector que nos permitirá obtener las soluciones del sistema con ligaduras como
la proyección de las soluciones del sistema libre.
Como vimos en el apartado anterior, suponemos que el fibrado de formas de
ligadura, F , está generado por m 1-formas, ηα = (η 1 α, . . . , η k α), 1 ≤ α ≤ m, que son
R k -valuadas y semibásicas. La expresión local de estas 1-formas está dada en (3.2).
T 1 k
En primer lugar introducimos el siguiente morfismo de fibrados vectoriales
Ω ♭ L : T (T 1 k Q) −→ (T 1 k )∗ (T 1 k Q)
X ↦→ Ω♭ L (X) = (ıXω1 L , . . . , ıXωk L ) .
⋄
(3.3)
Para cada α , (α = 1, . . . , k), sea Zα ∈ X(T 1 k Q) el único campo de vectores en
Q definido a partir de las siguientes identidades:
(τ k Q)∗(Zα) = 0 y Ω ♭ L(Zα) = − ηα , (3.4)