Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

230 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
B. Principio variacional y ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl.
El desarrollo de esta sección se hará sobre R k ×(T 1 k )∗ Q, esto es, el modelo canónico
de las variedades k-cosimplécticas y en ella obtendremos las ecuaciones de Hamilton
a partir de un principio variacional. Teniendo en cuenta el Teorema de Darboux 6.2
puede desarrollarse, de modo análogo, en cualquier variedad k-cosimpléctica M.
Para desarrollar el principio variacional que nos proporciona las ecuaciones de
campo hamiltonianas necesitamos considerar levantamientos de difeomorfismos y
campos de vectores de R k ×Q a R k ×(T 1 k )∗ Q. Comenzamos este apartado recordando
estos conceptos que pueden encontrase en Saunders [125].
Sea f : R k × Q → R k × Q un morfismo de ˆπQ-fibrados tal que la aplicación
fQ : Q → Q en la base es un difeomorfismo. Queremos levantar f a un difeomorfismo
j 1∗ f : R k × (T 1 k ) ∗ Q → R k × (T 1 k ) ∗ Q
tal que el siguiente diagrama sea commutativo:
R k × (T 1 k )∗ Q
(ˆπQ)1,0
Rk × Q
ˆπQ
Q
j 1∗ f
f
fQ
k 1 R × (Tk ) ∗Q (ˆπQ)1,0
k R × Q
Podemos así introducir las siguientes definiciones (véase Saunders [125]):
Definición 6.3 Sea f : Rk × Q → Rk × Q un morfismo de ˆπQ-fibrados tal que la
aplicación fQ : Q → Q entre las bases es un difeomorfismo. Se define el levantamiento
de f a Rk × (T 1 k )∗Q como la aplicación j1∗f : Rk × (T 1 k )∗Q → Rk × (T 1 k )∗Q definida por
(j 1∗ f)(j 1 qσ) := j 1 fQ(q)(f ◦ σ ◦ f −1
Q ) ,
donde σ = (σRk, idQ) y σRk : Q σ → Rk × Q ˆπ Rk → Rk .
Q
ˆπQ