Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.4.2 Ejemplo: la ecuación de conducción del calor 137
4.4.2. Ejemplo: la ecuación de conducción del calor
En esta subsección vamos a calcular una familia de sopde’s linealizables cuyas
secciones integrales son primeras prolongaciones de soluciones de la ecuación de
conducción del calor.
La ecuación de conducción del calor en dimensión 1 es
∂φ
∂t = κ∂2 φ
. (4.27)
∂x2 en donde κ es una constante que mide la difusión del calor y las soluciones φ : R 2 → R
indican la temperatura, en cada instante de tiempo t 1 ≡ t, en el punto t 2 ≡ x. En
este caso k = 2, Q = R (n = 1).
Buscamos los sopde’s linealizables asociados a esta ecuación.
La ecuación (4.26) para este caso es
∂ 2 φ
∂t A ∂t B = AC AB
∂φ
∂t C + BAB φ + CAB , 1 ≤ A, B ≤ 2 , (4.28)
la cual se puede escribir como el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales
en el que utilizamos la identificación t 1 = t y t 2 = x.
∂ 2 φ
∂t 2 = A1 11
∂ 2 φ
∂t∂x = A1 12
∂ 2 φ
y puesto que ∂2 φ
∂t∂x = ∂2 φ
∂x∂t
∂φ
∂φ
∂t + A211 ∂x + B11 φ + C11
∂φ
∂φ
∂t + A212 ∂x + B12 φ + C12
∂φ
∂φ
∂x∂t = A121 ∂t + A221 ∂x + B21 φ + C21
∂ 2 φ
∂x 2 = A1 ∂φ
22
∂t + A2 ∂φ
22
∂x + B22 φ + C22
(condición de integrabilidad) entonces se tiene:
A 2 12 = A 1 21, A 2 12 = A 2 21, A 2 12 = A 1 21, B12 = B21, C12 = C21 .
La solución general de la ecuación de conducción del calor (4.27) es
κ
−
φ(t, x) = e λ2 t x
x
κ
−
C cos + D sin = A e λ
λ λ
2 t
x
sin + δ
λ
(4.29)