Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.1.1 Fundamentos geométricos. 7
(2)
k
ker ω A = {0} .
A=1
Una variedad M dotada de una estructura k-simpléctica se dice que es una variedad
k-simpléctica.
En el apartado anterior hemos visto que (ω 1 , . . . , ω k , V ) definen una estructura
k-simpléctica sobre (T 1 k )∗ Q. Además hemos visto que para un sistema de coordenadas
canónicas (q i , p A i )1≤i≤n,1≤A≤k las 2-formas diferenciales ω 1 , . . . , ω k tienen las
expresiones locales dadas en (1.3). Para una variedad k-simpléctica arbitraria M,
Awane ha demostrado que exiten sistemas de coordenadas sobre M que permiten
expresar localmente las 2-formas de una estructura k-simpléctica de modo análogo
a (1.3).
Teorema 1.5 (Teorema de Darboux k-simpléctico). Sea (M, ω 1 , . . . , ω k , V ) una variedad
k-simpléctica de dimensión n(k + 1), entonces para cada punto x ∈ M existe
un sistema local de coordenadas (q i , p A i )1≤i≤n,1≤A≤k, centrado en x ∈ M, tal que
y además
ω A = dq i ∧ dp A i , 1 ≤ A ≤ k
∂
V =
∂p 1 i
, . . . , ∂
∂pk
i i=1,...,k
Dicho sistema de coordenadas recibe el nombre de sistema de coordenadas adaptado.
Como ya hemos comentado, el modelo canónico de las variedades k-simplécticas
es ((T 1 k )∗ Q, ω 1 , . . . , ω k , V ). El fibrado de las k 1 -covelocidades también es el modelo
de las variedades casi k-cotangentes introducidas por M. de León et al. en [81], donde
se definen las estructuras casi k-cotangentes y se describen como G-estructuras.
Definición 1.6 Una estructura casi k-cotangente sobre una variedad M de dimensión
n(k + 1) es una familia (ωA , V A ; 1 ≤ A ≤ k), donde cada ωA es una 2-forma
de rango constante 2n y V A es una distribución en M, tal que
= 0
(i) V A ∩ (⊕B=AV B ) = 0, (ii) ker ω A = ⊕B=AV B , (iii) ω A
V A ×V A
para todo A = 1, . . . , k.
.