Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.2.4 Conexiones no lineales y estructura k-tangente en T 1 k Q. 129
Demostración:
Sea N una conexión de Ehresmann en τ k Q : T 1 k Q → Q y h : T (T 1 k Q) → H(T 1 k Q)
el proyector horizontal. Definimos
Γ = I − 2h ,
donde I es el campo de tensores identidad de tipo (1, 1) en T 1 k Q.
A partir de la definición anterior podemos afirmar que Γ es un tensor de tipo
(1, 1) en T 1 k Q, veamos ahora que Γ verifica las identidades (4.19).
Puesto que los tensores J 1 , . . . , J k se anulan sobre los campos de vectores verticales
se verifica,
J A (Z) = J A (hZ + vZ) = J A (hZ),
entonces
y por tanto
J A = J A ◦ h, 1 ≤ A ≤ k ,
J A ◦ Γ = J A − 2(J A ◦ h) = J A − 2J A = − J A , 1 ≤ A ≤ k ,
obteniendo así la primera familia de identidades de (4.19).
Por otra parte,
Γ ◦ J A = I ◦ J A − 2(h ◦ J A ) = J A , 1 ≤ A ≤ k ,
ya que h ◦ J A = 0. Con esto hemos demostrado que Γ satisface la segunda familia
de identidades de (4.19).
Recíprocamente, vamos a comprobar ahora que si Γ un tensor de tipo (1, 1) en el
Q → Q verificando (4.19), entonces Γ define una conexión
Q → Q.
fibrado vectorial τ k Q : T 1 k
de Ehresmann en T 1 k
Definimos
Entonces se verifica
h 2 = h ◦ h = h
= 1
2
h = 1
1
(I − Γ) y v = (I + Γ) .
2 2
1
(I − Γ)
2
h − 1
(Γ − I)
2
= 1
2
1 1
(h − h ◦ Γ) = (h −
2 2 (Γ − Γ2 ))
= 1
(h + h) = h
2