Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

210 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
B. Caso particular: Formalismo k-simpléctico hamiltoniano estándar
En este apartado vamos a explicar con más detalle el punto 1 de la observación
5.47.
La variedad k
⊕ E ∗ se identifica con (T 1 k ) ∗ Q, T T Q ((T 1 k ) ∗ Q) con T ((T 1 k ) ∗ Q) y
(T T Q ) 1 k ((T 1 k ) ∗ Q) con T 1 k ((T 1 k ) ∗ Q).
Una sección
ξ : k
⊕ E ∗ → (T E ) 1 k( k
⊕ E ∗ )
se corresponde con un campo de k-vectores ξ = (ξ1, . . . , ξk) en (T 1 k ) ∗ Q, esto
es, ξ es una sección de τ k
(T 1 k ) ∗ Q : T 1 k ((T 1 k ) ∗ Q) → (T 1 k ) ∗ Q.
Sea f una función en (T 1 k ) ∗ Q entonces
(d TE ( k
⊕E ∗ ) f)(Y ) = df(Y )
donde df denota la diferencial usual e Y es un campo de vectores en (T 1 k ) ∗ Q.
Se verifica que
Ω A (X, Y ) = ω A (X, Y ) (A = 1, . . . , k)
donde ω A es la 2-forma canónica del formalismo hamiltoniano k-simpléctico
estándar definida en (1.2).
Así, en el formalismo k-simpléctico estándar la ecuación (5.70) se escribe como
sigue:
k
ıξAωA = dH .
A=1
En consecuencia del Teorema 5.46 y los cinco comentarios anteriores, reobtenemos
la formulación hamiltoniana k-simpléctica estándar (véase Sección 1.1.3).
Corolario 5.48 Sea H : (T 1 k ) ∗ Q → R una función hamiltoniana y ξ = (ξ1, . . . , ξk)
un campo de k-vectores en (T 1 k ) ∗ Q tal que
k
A=1
ıξA ωA = dH .