Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.3 Equivalencia entre la formulación lagrangiana y hamiltoniana 263
6.3. Equivalencia entre la formulación lagrangiana
y hamiltoniana
En esta sección vamos a recordar la equivalencia que existe entre el formalismo
k-cosimpléctico lagrangiano y hamiltoniano de las Teorías Clásicas de Campos de
Primer Orden. Esta equivalencia fue establecida por M. de León et al en [84].
Consideramos una función lagrangiana hiperregular L : Rk × T 1 k Q → R.
En este caso sabemos que la aplicación de Legendre F L es un difeomorfismo
global por lo que podemos definir una función hamiltoniana H : R k × (T 1 k )∗ Q → R
por
H = EL ◦ F L −1
donde F L −1 es la inversa de F L. En estas condiciones se puede demostrar el siguiente
resultado.
Teorema 6.36
(1) Si XL = ((XL)1, . . . , (XL)k) es una solución de (6.40), entonces el campo de kvectores
XH = ((XH)1, . . . , (XH)k), donde (XH)A = F L∗((XL)A), 1 ≤ A ≤ k,
es una solución de las ecuaciones (6.9) en R k × (T 1 k )∗ Q, con H = EL ◦ F L −1 .
(2) Si XL = ((XL)1, . . . , (XL)k) es integrable y φ [1] es una sección integral, entonces
ϕ = F L ◦ φ [1] es una sección integral de XH = ((XH)1, . . . , (XH)k) y por
lo tanto es una solución de las ecuaciones de Hamilton-De Donde-Weyl (6.6)
con H = EL ◦ F L −1 .
Demostración:
(1) Es una consecuencia inmediata de (6.9) y (6.40) usando que F L ∗ η A = dt A ,
F L ∗ ω A = ω A L , y EL = H ◦ F L −1 .
(2) Es una consecuencia de la Definición 1.17 de sección integral de un campo de
k-vectores.