Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.3 Formalismo lagrangiano: ecuaciones de Euler - Lagrange. 259
por tanto
Z 1 = Z
ı Z 1(dL ∧ d k t) =
Así, de (6.38) se obtiene
=
[(φ [1]
Q )∗ıZ 1(dL ∧ dkt)](t) =
(Zi ◦ φ)(t) ∂L
∂q i
+
[1]
φ Q (t)
i
i ∂ ∂Z ∂Zi
+ +
∂qi ∂tA ∂q
vj
j A
i
i ∂L ∂Z ∂Zi
Z + +
∂qi ∂tA ∂q
∂Z i
+
φ(t) ∂Zi
∂t A
∂
vj
j A
∂qj ∂φ
φ(t)
j
∂tA
t
∂v i A
Observemos que el último sumando de (6.39) verifica
∂Z i
∂qj
∂φ
φ(t)
j
∂tA
∂L
d
t
k i ∂(Z ◦ φ)
t =
∂tA
−
t
∂Zi
∂tA
∂v i A
φ [1]
Q (t)
,
∂L
∂v i A
∂L
∂v i A
φ(t)
d k t . (6.38)
φ [1]
Q (t)
∂L
∂v i A
d k t .
φ [1]
Q (t)
y así el último término de esta expresión se cancela con el segundo de (6.39).
Por lo tanto, calculando la integral, obtenemos
(φ [1]
Q )∗ıZ 1(dL ∧ d k
t) = (Z i ◦ φ) ∂L
∂qi
d k
t +
R k
R k
φ [1]
Q (t)
R k
∂(Z i ◦ φ)
∂t A
∂L
d k t
t ∂vi [1]
A φ Q (t)
(6.39)
Teniendo en cuenta que φ tiene soporte compacto e integrando por partes tenemos
Rk ∂(Z i ◦ φ)
∂tA
∂L
[1]
t φ Q (t)
d k
t = −
Rk (Z i ◦ φ)(t) ∂
∂tA
∂L
[1]
φ Q (t)
d k t
∂v i A
de donde se deduce que
(φ [1]
Q )∗ıZ 1(dL ∧ d k
t) =
R k
R k
(Z i
∂L
◦ φ)(t)
∂qi
φ [1]
Q (t)
∂v i A
− ∂
∂tA
∂L
∂v i A
φ [1]
Q (t)
d k t .
d k t = 0 .
Por ser las funciones Zi arbitrarias, de esta última igualdad obtenemos las ecuaciones
de Euler-Lagrange,
∂L
∂qi
− ∂
∂tA
∂L
= 0 , 1 ≤ i ≤ n .
φ [1]
Q (t)
∂v i A
φ [1]
Q (t)