Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

326 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
una base local de secciones de τ R k : T R k → R k y
{eα}1≤α≤m
una base local de secciones de τ : E → Q. Además denotamos por
{e A }1≤A≤k y {e α }1≤α≤m
las bases duales correspondientes. Entonces el morfismo Φ : T R k → E está determinado
por las relaciones
Φ(t) = (φ i (t)) y Φ ∗ e α = φ α Ae A
para ciertas funciones locales φ i y φ α A en Rk .
Así, la aplicación asociada Φ está localmente dada por
Φ(t) = (t, φ i (t), φ α A(t)) .
En este caso, las condiciones de morfismo de Lie (5.7) y (5.8) se escriben como
sigue
∂φi ∂tA = ρiαφ α A y 0 = ∂φαA ∂tB − ∂φαB ∂tA + Cαβγφ β
Bφγ A
(8.27)
donde ρi α y C γ
αβ son las funciones de estructura del algebroide de Lie E.
Observación 8.19 En el caso estándar, esto es, cuando E = T Q y ρ = idT Q las
condiciones de morfismo anteriores se reducen a
φ i A = ∂φi
∂t A
y
∂φi A
∂tB = ∂φiB ∂t
de modo que la segunda de estas identidades se puede escribir como sigue:
∂2φi ∂tB∂t A = ∂2φi ∂tA .
∂tB Así, en el formalismo k-cosimpléctico estándar, considerar morfismos de algebroides
de Lie y las aplicaciones asociadas es equivalente a considerar soluciones
φ : R k → Q y la primera prolongación φ [1] de las mismas.
A ,
⋄