Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

362 A Simetrías y leyes de conservación
riores obtenemos
0 = ∂2 L
( ∂H
∂vs D∂vl
A
Φ(t) ∂pA l
F L(Φ(φ (1) (t)))
− ∂Φl
∂q j
φ (1) (t)
∂φj ∂tA
t
− ∂Φl
∂v j
B
y puesto que L es regular, de la identidad anterior deducimos
∂H
∂p A l
F L(Φ(φ (1) (t)))
= ∂Φl
∂q j
φ (1) (t)
Por otra parte se tiene la identidad
∂(F L ◦ Φ ◦ φ (1) ) l
∂tA
t
= ∂Φl
∂q j
φ (1) (t)
∂φj ∂tA
t
∂φj ∂tA
+ ∂Φl
∂v j
B
t
+ ∂Φl
∂v j
B
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
)
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
. (A.26)
, (A.27)
y de (A.26) y (A.27) obtenemos la identidad (a) de las ecuaciones de Hamilton-de
Donder-Weyl (A.14). Nos falta probar (b) en (A.14).
A continuación veremos que comprobar (b) es equivalente a probar que se cumple
la siguiente identidad:
0 = {
+
−
+
k
A=1
∂ 2 L
∂v j
∂H
∂p A i
∂(F L ◦ Φ ◦ φ (1) ) i A
∂t A
B∂vi
Φ(t)
A
F L(Φ(φ (1) (t)))
∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
t
∂Φ i
∂q l
− (
φ (1) (t)
∂2L ∂qj ∂vi ∂Φ
A Φ(t)
j
∂ql
φ (1) (t)
∂H
φ (1) (t) ∂pA
k
F L(φ (1) (t))
∂Φ j
B
∂ql
)(
φ (1) (t)
∂Φi
∂qk
) + ∂H
∂qj
∂Φ
F L(Φ(φ (1) (t)))
j
∂ql
i ∂Φ
∂qk
∂H
−
φ (1) (t) F L(φ (1) (t))
∂H
∂pA i
∂p A k
φ (1) (t)
} ∂(Φ−1 ) l
∂qm
Φ(t)
F L(Φ(φ (1) (t)))
.
(A.28)