Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

218 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
es una solución de (5.70).
En efecto, si b ∗ q ∈ k
⊕ E ∗ y Yb ∗ q ∈ TE ( k
⊕ E ∗ ) entonces se verifica
=
=
−
=
−
=
k
A=1
k
A=1
k
Ω A b ∗ q
ıξA Ω
H A − d TE ( k
⊕E ∗
)
H
ξ A H(b ∗ q), Yb ∗ q
−
A=1
dTE ( k
⊕E ∗ ) −1 ∗ [(Leg ) EL]
k
(Yb ∗ q )
b ∗ q
d TE ( k
⊕E ∗ ) −1 ∗
[(Leg ) EL]
Ω A
Leg(Leg−1 (b ∗ E A
q )) (T Leg ◦ ξL ◦ Leg −1 )(b ∗ q), Yb ∗
q
A=1
dTE ( k
⊕E ∗ ) −1 ∗ [(Leg ) EL]
b ∗ q
(Yb ∗ q )
b ∗ q
(Yb ∗ q )
Ω A
Leg(Leg−1 (b ∗ E A
q )) (T Leg ◦ ξL ◦ Leg −1 )(b ∗ q), T E Leg ◦ (T E Leg) −1 (Yb ∗ q )
k E ∗ A
(T Leg, Leg) Ω
A=1
− (T E Leg, Leg) ∗
=
Leg(Leg−1 (b ∗ (T
q ))
ELeg ◦ (TELeg) −1 (Yb ∗ q ))
Leg −1 (b ∗ q )
ξ A L (Leg −1 (b ∗ q)), (T E Leg) −1 (Yb ∗ q )
dTE ( k
⊕E ∗
) −1 ∗ [(Leg ) EL]
Leg−1 (b ∗
E −1 (T Leg) (Yb
q )
∗ q )
k
(Ω A A
−1 L) Leg (b ∗
q ) ξL (Leg −1 (b ∗ q)), (T E Leg) −1 (Yb ∗ q )
A=1
− d TE ( k
⊕E) (T E Leg, Leg) ∗ [(Leg −1 ) ∗ EL]
=
k
A=1
ıξAΩ L A L − d TE ( k
⊕E)
EL
Leg −1 (b ∗ q )
Leg −1 (b ∗ q )
(T E Leg) −1 (Yb ∗ q )
(T E Leg) −1 (Yb ∗ q ) = 0 ,
donde hemos utilizado el Teorema 5.51 y el Lema 5.53.
Por lo tanto ξH es una solución de las ecuaciones geométricas de Hamilton en
algebroides de Lie, (5.70).