Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

158 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
Observación 5.10 En la descripción de la formulación k-simpléctica en algebroides
de Lie la prolongación de un algebroide de Lie, T E P , jugará un papel fundamental.
En concreto vamos a utilizar dos casos particulares de la prolongación de un algebroide
de Lie. El primero de ellos, correspondiente con la formulación lagrangiana,
será con
en este caso la suma de Whitney
P = E⊕ k . . . ⊕E,
T E (E⊕ k . . . ⊕E)⊕ k . . . ⊕T E (E⊕ k . . . ⊕E)
que denotaremos como (TE ) 1 k (E⊕ . k.
. ⊕E) jugará el papel de
T 1 k (T 1 k Q) = T (T Q⊕ k . . . ⊕T Q)⊕ k . . . ⊕T (T Q⊕ k . . . ⊕T Q)
en el formalismo lagrangiano k-simpléctico estándar.
El segundo caso que vamos a considerar es
y en este caso
P = E ∗ ⊕ k . . . ⊕E ∗
T E (E ∗ ⊕ k . . . ⊕E ∗ )⊕ k . . . ⊕T E (E ∗ ⊕ k . . . ⊕E ∗ ) = (T E ) 1 k(E ∗ ⊕ k . . . ⊕E ∗ )
jugará el papel de
T 1 k ((T 1 k ) ∗ Q) = T (T ∗ Q⊕ k . . . ⊕T ∗ Q)⊕ k . . . ⊕T (T ∗ Q⊕ k . . . ⊕T ∗ Q)
en el formalismo hamiltoniano k-simpléctico estándar.
5.3. Formalismo lagrangiano k-simpléctico en algebroides
de Lie.
En esta sección extendemos el formalismo lagrangiano k-simpléctico que se ha
descrito en la Sección 1.2 del Capítulo 1, al contexto que nos proporcionan los
algebroides de Lie. Para ello, la idea fundamental es sustituir el fibrado tangente
T Q por un algebroide de Lie E.
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