Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.3 Formalismo lagrangiano. 325
Volviendo al caso de algebroides, sustituyendo el fibrado tangente T Q por un
algebroide de Lie E y siguiendo una descripción análoga a la que acabamos de hacer
obtenemos que el análogo del campo solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange
será un morfismo de algebroides de Lie Φ = (Φ, Φ)
Considerando
T R k
τ R k
Rk Φ
Φ
{eA} k A=1
una base local de secciones de T R k , podemos definir una aplicación
asociada a Φ y dada por
E
τ
Q
Φ : R k → R k × k
⊕ E
Φ : R k → R k × k
⊕ E ≡ R k × E⊕ k
. . . ⊕E
t → (t, Φ(e1(t)), . . . , Φ(ek(t))) .
Observación 8.18 En el caso particular E = T Q y ρ = idT Q se verifica: Φ =
(T φ, φ), eA = ∂/∂t A la aplicación Φ se corresponde con la primera prolongación de
la φ : R k → Q, esto es,
Φ = φ [1] .
Denotaremos por Φ : T R k → E un morfismo de algebroides de Lie Φ = (Φ, Φ)
entre τ R k : T R k → R k y τ : E → Q.
Ahora vamos a escribir las expresiones locales del morfismo de algebroides de lie
y la aplicación asociada.
Sean
(t A )1≤A≤k y (q i )1≤i≤n
dos sistemas locales de coordenadas en R k y Q, respectivamente. Sea
{eA}1≤A≤k