Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

124 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
Así, definiendo las funciones
N j
Ai (vq) = N j ∂
A (vq,
∂qi
), 1 ≤ i, j ≤ n, 1 ≤ A ≤ k
q
se obtiene el resultado buscado.
Teniendo en cuenta la proposición anterior, tenemos que H está localmente dado
por:
H(q i , v i A, v i ) = (q i , v i A, v i , −v i N j
Ai )
donde N j
Ai (vq) = N j
A (vq, ∂/∂q i ).
Observación 4.10 La relación entre el subfibrado horizontal y la aplicación horizontal
es bastante obvia. Si H : T 1 k Q×QT Q −→ T (T 1 k Q) es una aplicación horizontal
para τ k Q , entonces Im H es un subfibrado horizontal de T (T 1 k Q). Recíprocamente,
cada subfibrado horizontal de T (T 1 k Q) puede obtenerse como la imagen de una aplicación
horizontal.
Puesto que ∂ ∂qi es una base local de Sec((τ k Q )∗τQ) (véase item (2) en sección
4.1.3), tenemos que una base local del subfibrado horizontal Im H asociado a la
aplicación H viene dada por
∂
∂
∂
H(T 1 k Q) := Im H =
H
∂q i
1≤i≤n
=
∂q i
vq
− N j
Ai
∂v j
A
1≤i≤n
Sea X ∈ X(Q) un campo de vectores en Q. Entonces el levantamiento horizontal
Xh de X a X(T 1 k Q) se define como sigue
X h (vq) : = (H X)(vq) = H(vq, X(q)) = X i
∂
∂qi
− N
vq
j ∂
Ai (vq)
.
vq
(4.11)
4.2.2. La aplicación V : T (T 1 k Q) → T 1 k Q ×Q T 1 k Q.
En el apartado anterior hemos definido las aplicaciones horizontales H como
escisiones de una sucesión exacta corta. Por este motivo a cada H le corresponde un
único T 1 k Q-morfismo de fibrados vectoriales
V : T (T 1 k Q) → T 1 k Q ×Q T 1 k Q
∂v j
A
.