Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.1 Elementos geométricos. 245
donde
[F L(t, v1q, . . . , vkq)] A (uq) = d
ds
para cada A = 1, . . . , k.
La expresión local de F L es
s=0
L t, v1q, . . . , vAq + suq, . . . , vkq) ,
F L : (t A , q i , v i A) −→ (t A , q i , ∂L
∂v i ) . (6.24)
A
De las expresiones locales (6.2), (6.22), (6.23) y (6.24) de θ A , ω A , θ A L y ωA L
se obtienen la relación entre las formas canónicas en R k × (T 1 k )∗ Q y las formas
Lagragangianas definidas en R k × T 1 k Q:
E. Estructura k-cosimpléctica
θ A L = F L ∗ θ A , ω A L = F L ∗ ω A , 1 ≤ A ≤ k . (6.25)
Las 2-formas diferenciales (ω1 L , . . . , ωk L ) que acabamos de definir junto con las
1-formas cerradas (dt1 , . . . , dtk ) y la distribución vertical V = ker T (ˆπ Rk)1,0 determinada
por el fibrado (ˆπ Rk)1,0 : Rk × T 1 k Q → Rk × Q constituirán una estructura
k-cosimpléctica sobre el fibrado Rk × T 1 k Q si añadimos alguna condición de regularidad
sobre la función lagrangiana L.
Definición 6.19 Una función lagrangiana L : Rk × T 1 k Q −→ R se dice que es
regular (resp. hiperregular) si la correspondiente aplicación de Legendre F L es un
difeomorfismo local (resp. global). En otro caso L es llamado lagrangiano singular
De (6.24) obtenemos que L es regular si, y sólo si, det ∂ 2 L
∂v i A∂v j
= 0 .
B
En [84] M. de León et al. demuestran la siguiente proposición que permite dotar
a Rk × T 1 k Q de una estructura k-cosimpléctica.
Proposición 6.20 Las siguientes condiciones son equivalentes: