Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

134 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
En este caso, el tensor Γξ = I − 2hξ se define como sigue:
Γξ = 1
(k − 1)I + 2
k + 1
k
A=1
LξA J A )
Observemos que en el caso k = 1, este campo de tensores es Γξ = LξJ, donde
J es la estructura tangente canónica de T Q. Esta conexión fue introducida por
Grifone en la Proposición I.41 de [53] y en la Proposición 1.3 de [55]
En esta sección hemos visto que a cada conexión no lineal definida en T 1 k
podemos asociar un sopde en T 1 k
Q le
Q y, recíprocamente, a cada sopde una conexión
no lineal. Es natural preguntarnos si esta relación es una biyección entre el conjunto
de conexiones no-lineales en T 1 k Q y el conjunto de sopde’s en T 1 k Q. En general la
respuesta es negativa como veremos a continuación.
(1) Consideremos un sopde ξ, la conexión no-lineal asociada a ξ y definida por
la aplicación horizontal Hξ y el sopde ξHξ asociado a Hξ. De (4.21) y (4.24)
obtenemos que
ξ A Hξ = vi
∂ 1
A i +
∂q k + 1
k
C=1
∂(ξC) j
B
∂v i C
∂
∂v j
, 1 ≤ A ≤ k .
B
Entonces ξ = ξHξ si, y sólo si, ξA = ξA , 1 ≤ A ≤ k, esto es, si y sólo si las
Hξ
funciones (ξA) j
B , 1 ≤ A, B ≤ k, 1 ≤ j ≤ n , que definen el sopde ξ verifican la
siguiente identidad:
(ξA) j 1
B =
k + 1
k
C=1
∂(ξC) j
B
∂v i v
C
i A , 1 ≤ A, B ≤ k, 1 ≤ i ≤ n .
En el caso particular k = 1 obtenemos ξHξ = ξ si, y sólo si,
1 ∂ξ
2
k
∂v i vi = ξ k
lo que significa que las funciones ξ k son homogéneas de grado 2 (véase [55]).
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