Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

192 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
• Estándard:
L : T 1 k Q → R.
Secciones lagrangianas.
• Algebroides de Lie:
Ω A L
• Estándard:
: k
⊕ E → (T E ( k
⊕ E)) ∗ ∧ (T E ( k
⊕ E)) ∗ , A = 1, . . . , k.
ωA L : T 1 k Q → T ∗ (T 1 k Q) ∧ T ∗ (T 1 k Q), A = 1, . . . , k.
Ecuaciones algebraicas.
• Algebroides de Lie:
k
A=1
ıξA ΩA L = dEL ,
ξ = (ξ1, . . . , ξk) : k
⊕ E → (TE ) 1 k
k ( ⊕ E) es una sección del fibrado
k-prolongación (TE ) 1 k
k ( ⊕ E) = TE ( k
⊕ E) ⊕ . . . ⊕ TE ( k
⊕ E).
• Estándard:
k
A=1
ıξA ωA L = dEL ,
(ξ1 . . . , ξk) : T 1 k Q → T 1 k (T 1 k Q) es un campo de k-vectores en T 1 k Q.
Ecuaciones de campo.
• Algebroides de Lie:
k ∂
∂tA
∂L
Φ(t)
A=1
∂y α A
∂φi ∂tA
t
= ρ i α
∂L
∂qi
Φ(t)
= φ α A (t)ρi α ,
+ φ β
CCγ βα
∂L
∂y γ
Φ(t)
0 = ∂φα A
∂t B − ∂φα B
∂t A + Cα βγφ β
B φγ
A ,
C