Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.1.2 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 233
Comparando (6.5) y la expresión anterior de Z(t, q) se sigue que
= 0 ,
de donde se deduce que
d(t A ◦ σ(t,q))
ds
0
(t A ◦ σ(t,q))(s) = constante ,
pero como σ(t,q)(0) = (t, q) sabemos que se verifica (t A ◦ σ(t,q))(0) = t A y así
Entonces se verifica
lo que implica que ˆπ R k ◦ σs = ˆπ R k .
Por lo tanto, utilizando (6.3) se tiene
(t A ◦ σ(t,q))(s) = t A .
σs(t, q) = (t, q i ◦ σs(t, q)),
ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0 ◦ ψs(t) = ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0 ◦ j 1 ∗ σs ◦ ψ(t)
= ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0(t, (σs) i Q (q), pA k
esto es, ψs es una sección de ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0.
∂((σs) −1
Q )k
∂q i
◦ (σs)Q) = t
Definición 6.9 Una sección ψ : Rk → Rk × (T 1 k )∗Q, perteneciente al conjunto
Secc(Rk , Rk × (T 1 k )∗Q), es un extremal de H si
d
H(j
ds s=0
1∗ σs ◦ ψ) = 0
donde {σs} es el grupo local uniparamétrico de difeomorfismos de algún campo de
vectores Z ∈ X(R k × Q) que sea ˆπ R k-vertical y ˆπQ-proyectable.
Observación 6.10 En la definición anterior necesitamos que el campo Z sea ˆπQ
proyectable para poder definir Z 1∗ como el campo con flujo {j 1∗ σs}, y que sea ˆπ R kvertical
para garantizar que cada
ψs := j 1∗ σs ◦ ψ
sea una sección de la proyección canónica ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0 : R k × (T 1 k )∗ Q → R k , lo que
hemos demostrado en el lema anterior.