Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

316 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
E. Las secciones de Liouville.
En este apartado vamos a introducir la segunda familia de elementos geométricos
canónicos que consideraremos en la prolongación TE (Rk × k
⊕ E).
Definición 8.9 La sección de Liouville A-ésima en TE (Rk × k
⊕ E) es la sección
∆A de τ k
Rk × ⊕E : TE (Rk × k
⊕ E) → Rk × k
⊕ E definida como sigue
∆A : R k × k
⊕ E → T E (R k × k
⊕ E) ≡ E ×T Q T (R k × k
⊕ E)
(t, bq) ↦→ ∆A(t, bq) = ξ VA (prA(t, bq), t, bq) = ξ VA (bAq, t, bq)
donde (t, bq) = (t, b1q, . . . , bkq) ∈ Rk × k
⊕ E y prA : k
⊕ E → E es la proyección sobre
la A-ésima copia de E en k
⊕ E.
De la expresión local (8.13) de ξ VA y teniendo en cuenta que
y α (bAq) = y α A(t, b1q, . . . , bkq) = y α A(t, bq)
se obtiene que la sección ∆A tiene la siguiente expresión local
m
∆A = y α AV A α , 1 ≤ A ≤ k , (8.16)
α=1
en la base local de secciones de τ R k × k
⊕E dada por {YA , Xα, V A α} y que definimos en
(8.4).
Observación 8.10 En el caso estándar, esto es, cuando E = T Q se verifica que
cada sección ∆A se identifica con el A-ésimo campo de vectores de Liouville o campo
de vectores canónico ∆A en Rk × T 1 k Q, (véase el capítulo 6).
En el formalismo lagrangiano k-cosimpléctico estándar los campos de vectores
canónicos ∆1, . . . , ∆k, son utilizados para definir la función energía lagrangiana.
De modo análogo, en el contexto que nos proporcionan los algebroides de Lie
sucede algo similar ya que, como veremos en la sección 8.1.3, definiremos la función
energía lagrangiana a partir de las secciones de Liouville ∆1, . . . , ∆k.
,
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