Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.4 Formalismo lagrangiano. Ecuaciones de Euler - Lagrange. 39
Ejemplos.- Veamos ahora algunos ejemplos de ecuaciones de campo que se pueden
describir con el formalismo aquí desarrollado.
Los cuatro ejemplos que presentamos corresponden al caso k = 2. La ecuación
geométrica de Euler-Lagrange (1.45) se escribe como sigue:
iX1ω 1 L + iX2ω 2 L = dEL . (1.48)
Ecuación de onda. En este caso Q = R y el lagrangiano es
entonces:
L: T 1 2 R ≡ T R ⊕ T R → R
(q, v1, v2) ↦→ 1
2 (σv2 1 − τv 2 2)
Si la primera prolongación φ (1) de φ : R 2 → R es una sección integral de (X1, X2),
solución de la ecuación (1.48), entonces φ es solución de la ecuación de onda (1.41).
Ecuación de Laplace. Consideramos ahora el lagrangiano
L: T 1 2 R ≡ T R ⊕ T R → R
(q, v1, v2) ↦→ 1
2 (v2 1 + v 2 2) .
Si la primera prolongación φ (1) de φ : R 2 → R es una sección integral de (X1, X2)
entonces φ es solución de la ecuación de Laplace, esto es:
∂2φ ∂(t1 ) 2 + ∂2φ ∂(t2 = 0 .
) 2
Ecuación de superficies minimales. Ahora Q = R y el lagrangiano es
L: T R ⊕ T R → R
(q, v1, v2) ↦→ 1 + v2 1 + v2 2
De nuevo, si la primera prolongación φ (1) de φ : R 2 → Q es una sección integral
de (X1, X2), entonces φ es solución de la ecuación de superficies minimales, esto es:
0 = (1 + ( ∂φ
∂t2 )2 ) ∂2φ ∂(t1 )
∂φ
− 2 2 ∂t1 ∂φ
∂t2 ∂2φ ∂t1 ∂φ
+ (1 + (
t2 ∂t1 )2 ) ∂2φ2 ∂(t2 )
2 .