Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

72 2 Simetrías y Leyes de conservación
Observación 2.40 Una simetría lagrangiana gauge Φ: T 1 k Q → T 1 k Q de un sistema
lagrangiano k-simpléctico no es necesariamente una simetría de Cartan, puesto que
en general Φ∗ωA L = ωA Φ∗L , para A = 1, . . . , k, y Φ∗EL = EΦ∗L, como puede ser
facilmente demostrado por medio de un cálculo en coordenadas.
En general se tiene:
Lema 2.41 Sea ϕ: Q → Q un difeomorfismo y sea Φ = T 1 k (ϕ) la prolongación
canónica de ϕ. Entonces:
Demostración:
(i) Φ ∗ θ A L = θ A Φ ∗ L, (ii) Φ ∗ ω A L = ω A Φ ∗ L, (iii) Φ ∗ EL = EΦ ∗ L .
(i) Es consecuencia directa del lema 1.39 y de la definición (1.30) de θA L . En
efecto, para cada A = 1, . . . , k se verifica:
(Φ∗θA L )wq(Wwq) = θA
L Φ(wq) Φ∗(wq)(Wwq) = (dL ◦ J A
)Φ(wq) Φ∗(wq)(Wwq)
A = dLΦ(wq) J (Φ∗(wq)(Wwq))
= dLΦ(wq) Φ∗(wq)(J A (Wwq))
= d(L ◦ Φ)wq(J A (Wwq)) = (dΦ ∗ L ◦ J A )wq(Wwq) = (θ A Φ ∗ L )wq(Wwq) ,
en donde Wwq ∈ Twq(T 1 k Q) y wq ∈ T 1 k Q. Entonces, Φ∗ θ A L = θA Φ ∗ L .
(ii) Es una consecuencia inmediata de (i).
(iii) El Lema 1.39 afirma que Φ∗∆ = ∆, esto es, en cada wq ∈ T 1 k Q se verifica
por tanto,
∆(Φ ∗ L)(wq) = ∆(L) ◦ Φ(wq)
Φ ∗ EL = Φ ∗ (∆(L) − L) = ∆(L) ◦ Φ − Φ ∗ L = ∆(Φ ∗ L) − Φ ∗ L = EΦ ∗ L .
Y por tanto se tiene la siguiente relación entre simetrías naturales de Cartan y
gauge simetrías naturales:
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