Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

232 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
donde
Θ =
k
θ A ∧ d k−1 t A − Hd k t, (6.4)
A=1
es una k-forma en R k × (T 1 k )∗ Q siendo d k−1 t A = ı ∂
∂t A dk t y d k t = dt 1 ∧ · · · ∧ dt k .
Observación 6.7 El la definición anterior la sección ψ hace conmutativo el siguiente
diagrama:
Rk × (T 1 k )∗Q (ˆπQ)1,0
Rk
× Q
ψ
ˆπ
Rk
Con el fin de definir los extremales de H demostramos el siguiente lema.
Lema 6.8 Sea ψ: R k → R k × (T 1 k )∗ Q un elemento de Secc(R k , R k × (T 1 k )∗ Q). Para
cada campo de vectores Z ∈ X(R k × Q) con flujo {σs} se verifica que
R k
ψs := j 1∗ σs ◦ ψ
es una sección de la proyección canónica ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0 : R k × (T 1 k )∗ Q → R k .
Demostración:
Si Z es un campo de vectores ˆπ Rk-vertical, entonces tiene la siguiente expresión
local
Z(t, q) = Z i (t, q) ∂
∂qi
,
(t,q)
(6.5)
para ciertas funciones Z i ∈ C ∞ (R k × Q).
Por ser σs es el grupo uniparamétrico asociado a Z se tiene
Z(t, q) = (σ(t,q))∗(0)( d
) =
ds 0
d(tA ◦ σ(t,q))
∂
ds 0 ∂tA
(t,q)
+ d(qi ◦ σ(t,q))
∂
ds 0 ∂qi
(t,q)
.
⋄