Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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310 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. (2) Si (tA , qi , yα A ) denota un sistema local de coordenadas de Rk × k ⊕ E entonces el sistema de coordenadas locales inducido en TE (Rk × k ⊕ E) es donde, véase (5.15), (t A , q i , y α A, z α , vA, w α A)1≤i≤n, 1≤ℓ≤n ′ , 1≤α≤m t A (aq, v(t,bq)) = t A (t) , z α (aq, v(t,bq)) = y α (aq) , q i (aq, v(t,bq)) = q i (q) , vA(aq, v(t,bq)) = v(t,bq)(t A ) , yα A (aq, v(t,bq)) = yα A (bq) , wα A (aq, v(t,bq)) = v(t,bq)(yα A ) . (3) De (5.16) obtenemos que el conjunto {Y A , Xα, V A α} definido por YA : Rk × k ⊕ E → TE (Rk × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E) (t, bq) ↦→ YA (t, bq) = (0q; ∂ ∂tA ) , (t,bq) Xα: Rk × k ⊕ E → TE (Rk × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E) (t, bq) ↦→ Xα(t, bq) = (eα(q); ρi α(q) ∂ ∂qi V A α : R k × k ⊕ E → T E (R k × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (R k × k (t, bq) ↦→ V A α(t, bq) = (0q; ∂ ∂yα A (t,bq) (t,bq) ⊕ E) es una base local de secciones de τ k Rk × ⊕E : TE (Rk × k ⊕ E) → Rk × k ⊕ E. ) , ) (8.3) (8.4) A partir de ahora denotaremos por Sec(T E (R k × k ⊕ E)) el conjunto de secciones de τ R k × k ⊕E . (4) A cada sección de τ R k × k ⊕E ξ: R k × k ⊕ E → T E (R k × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E) le asociamos un campo de vectores por medio del ancla del algebroide ρ p : T E (R k × k ⊕ E) → T (R k × k ⊕ E).
8.1.1 Elementos geométricos. 311 Si ξ se escribe localmente como sigue: ξ = ξAY A + ξ α Xα + ξ α AV A α ∈ Sec(T E (R k × k ⊕ E)) entonces, reescribiendo la expresión (5.17) para este caso particular obtenemos, ρ p ∂ (ξ) = ξA ∂tA + ρi α ∂ αξ ∂ ∂qi + ξα A ∂yα A (5) El corchete de Lie de secciones de τ R k × k corchete de los elementos de una base de secciones, ⊕E ∈ X(R k × k ⊕ E) . (8.5) queda determinado a partir del [Y A , Y B ] p = 0 , [Y A , Xα ] p = 0 , [Y A , V B β ]p = 0 , [Xα, Xβ ] p = C γ αβ Xγ , [Xα, V B β ]p = 0 , [V A α, V B β ]p = 0 . (8.6) (6) Si {YA, X α , V α A } es la base dual de {YA , Xα, V A α}, de las expresiones (5.20) que caracterizan la diferencial exterior en el algebroide prolongación obtenemos que d TE (Rk × k ⊕E) ∂f f = ∂tA YA + ρ i ∂f α ∂qi Xα + ∂f ∂yα A para cada f ∈ C ∞ (R k × k ⊕ E) y además d TE (R k × k ⊕E) YA = 0 , d TE (R k × k ⊕E) X γ = − 1 2 Cγ αβ Xα ∧ X β , d TE (R k × k ⊕E) V γ A = 0 . V α A , (8.7) (8.8) A lo largo de esta sección denotaremos la diferencial exterior d TE (R k × k ⊕E) simplemente por d. Observación 8.1 En el caso particular E = T Q la variedad T E (R k × k ⊕ E) se identifica con T (R k × T 1 k Q).
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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(2) ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . ,
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Apéndice C Índice de símbolos En
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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Conclusiones. El punto de partida d
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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