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Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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348 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.<br />

• Estándard:<br />

A=1<br />

∂ψ i<br />

∂t A<br />

<br />

<br />

t<br />

= ∂H<br />

∂p A i<br />

<br />

<br />

ψ(t)<br />

k ∂ψ A<br />

i<br />

= −∂H<br />

∂tA ∂qi <br />

<br />

ψ(t)<br />

Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones<br />

ψ: R k → R k × (T 1 k )∗ Q<br />

t ↦→ ψ(t) = (t, ψ i (t), ψ A i (t))<br />

8.3. Equivalencia entre el formalismo lagrangiano<br />

y el hamiltoniano.<br />

En la sección 6.3 del Capítulo 6 de esta memoria recordamos que las formulaciones<br />

lagrangiana y hamiltoniana k-cosimplécticas son equivalentes cuando el lagrangiano<br />

L : Rk × T 1 k Q → R es hiperregular.<br />

De modo análogo, en la sección 5.5 demostramos que se tiene un resultado similar<br />

entre las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana k-simplécticas en algebroides de<br />

Lie.<br />

En esta sección se recoge el resultado análogo en el contexto k-cosimpléctico en<br />

algebroides de Lie.<br />

Sea L : R k × k<br />

⊕ E → R un lagrangiano.<br />

Definición 8.28 La transformación de Legendre asociada a L es la aplicación<br />

definida por<br />

Leg(t, a1q, . . . , akq) =<br />

Leg : R k × k<br />

⊕ E → R k × k<br />

⊕ E ∗<br />

<br />

t, [Leg(a1q, . . . , akq)] 1 , . . . , [Leg(a1q, . . . , akq)] k<br />

<br />

donde<br />

[Leg(a1q, . . . , akq)] A (uq) = d<br />

ds L(t, a1q,<br />

<br />

<br />

. . . , aAq + suq, . . . , akq)<br />

siendo uq ∈ Eq.<br />

.<br />

s=0<br />

,

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