Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.1.3 Diferencial exterior. 147
así como la correspondiente aplicación entre los respectivos espacios de secciones,
que será denotada por la misma letra.
En particular, el campo de vectores hamiltoniano Xf se puede escribir como
Xf = − Π(df).
El fibrado cotangente T ∗ Q de una variedad de Poisson, Q, puede dotarse de una
estructura de algebroide de Lie como sigue: el ancla y la estructura del álgebra de
Lie en Sec(T ∗ Q) están definidas mediante las expresiones
ρ(α) = Π(α) ,
[α, β ]T ∗ Q = L Π(α) β − L Π(β) α + d(Π(α, β)) ,
donde α, β ∈ Sec(T ∗ Q) y LX denota la derivada de Lie. Es fácil comprobar que se
satisfacen las relaciones:
[df, dg ]T ∗ Q = d {f, g} ,
[ Π(df), Π(dg)]T ∗ Q = Π([df, dg ]T ∗ Q) .
El ejemplo de algebroide que hemos descrito aquí se denomina algebroide de
Lie de la variedad de Poisson (Q, {·, ·}) .
5.1.3. Diferencial exterior.
El paralelismo que existe entre un algebroide de Lie y el fibrado tangente de una
variedad diferenciable se puede extender al marco del álgebra exterior y el cálculo
diferencial de Cartan.
Dado un algebroide de Lie τ : E → Q sobre una variedad Q, las secciones de τ
juegan el papel de los campos de vectores sobre Q. Del mismo modo, las secciones
del fibrado dual τ ∗ : E ∗ → Q jugarán el papel de las 1-formas. Análogamente,
podemos pensar en secciones para la proyección de E ∗ ∧ . . . ∧ E ∗ sobre Q, lo que
nos permitirá construir una álgebra exterior sobre E ∗ .
Denotaremos por
Sec( E ∗ ) = rang E
l=0
Sec( l E ∗ ) ,
el conjunto de secciones del producto exterior de E ∗ , donde Sec( l ∗ E ) es el conjunto
de secciones de
E ∗ ∧ l . . . ∧E ∗ → Q .