Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

148 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
La estructura de álgebra graduada en Sec( E ∗ ), es análoga al caso E ∗ = T ∗ Q.
En particular se verifica Sec( 0 E ∗ ) := C ∞ (Q).
Los elementos de Sec( E ∗ ) se llamarán E-formas. Si α ∈ Sec( k E ∗ ), se
llamará una E − k-forma, o simplemente una k-forma, cuando no exista riesgo de
confusión con una forma exterior.
Veamos a continuación que, dado un algebroide E sobre Q, existe un operador
diferencial lineal
análogo a la diferencial exterior usual.
d E : Sec( l E ∗ ) → Sec( l+1 E ∗ )
Definición 5.2 Sean Q una variedad diferenciable y τ : E → Q un algebroide
de Lie sobre Q con aplicación ancla ρ : Sec(E) → X(Q). Denotaremos por d E el
operador
definido como sigue:
d E : Sec( l E ∗ ) → Sec( l+1 E ∗ )
(1) Si f ∈ C ∞ (Q), entonces (d E f)(σ) = ρ(σ)f para todo σ ∈ Sec(E).
(2) Si µ ∈ Sec( 1 E ∗ ), entonces
d E µ(σ1, σ2) = ρ(σ1)(µ(σ2)) − ρ(σ2)(µ(σ1)) − µ([σ1, σ2 ]E)
para todo par σ1, σ2 ∈ Sec(E).
(3) (d E ) 2 = 0.
(4) d E (α∧β) = (d E α)∧β+(−1) l α∧(d E β), donde α ∈ Sec( l E ∗ ), β ∈ Sec( r E ∗ )
Como consecuencia de la definición anterior se obtiene la siguiente fórmula para
E-formas de cualquier grado.