Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.4.3 Ligaduras lineales. 103
donde (D v ) 0 denota el anulador de D v (véase los trabajos de M. de León [69, 73],
para el caso k = 1).
A continuación, probaremos dos resultados relativos a la distribución D v que
están relacionados con la existencia de un espacio k-simpléctico (véase el apéndice
B para las definiciones técnicas).
Lema 3.20 Para cada punto wq ∈ M se verifica que D v wq
es un espacio vectorial
k-coisotrópico en (Twq(T 1 k Q), ω1 L (wq), . . . , ωk L (wq), V (wq)), es decir, (Dv ) ⊥ wq ⊂ Dv wq ,
siendo (Dv ) ⊥ wq el ortogonal k-simpléctico de Dv wq definido como sigue:
Demostración:
(D v ) ⊥ wq = {Uwq ∈ T 1 k Q : ω A L (Uwq, Wwq) = 0, ∀ Wwq ∈ D v wq } .
Teniendo en cuenta que (D v ) 0 está localmente generado por las 1-formas semibásicas
(τ k Q )∗ ϕα, 1 ≤ α ≤ m deducimos
(D v ) ⊥ wq = S(wq) ⊂ Vwq(T 1 k Q) ⊂ D v wq
para todo wq ∈ M, donde Vwq(T 1 k Q) denota la distribución vertical de τ k Q : T 1 k Q → Q
en el punto wq.
Proposición 3.21 Las siguientes propiedades son equivalentes:
(1) La condición de compatibilidad se verifica, esto es, T M ∩ S = {0}.
(2) La distribución D = T M ∩D v , definida a lo largo de M, es k-simpléctica en el
fibrado vectorial k-simpléctico (T (T 1 k Q), ω1 L , . . . , ωk L , V ), esto es, Dwq ∩ D ⊥ wq =
{0} para cada q ∈ Q.
Demostración:
y
Si T M ∩ S = {0} entonces
T M ∩ S = T M ∩ (D v ) ⊥ = 0
Twq(T 1 k Q) = TwqM ⊕ (D v ) ⊥ wq
∀wq ∈ M .