Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

48 2 Simetrías y Leyes de conservación
De la hipótesis Φ∗ωA = ωA , 1 ≤ A ≤ k, deducimos las identidades
0 = ∂Φi
∂qj
∂Φ
w
A i
∂qk 0 =
,
w
∂Φi
∂pB
∂Φ
j w
A i
∂pC δ
, 1 ≤ A ≤ k ,
k
w
(2.3)
k j δ A C = ∂Φi
∂qj
∂Φ
w
A i
∂pC
−
k
w
∂Φi
∂pC
∂Φ
k
w
A i
∂qj
w
.
Además, puesto que Φ es un difeomorfismo, Φ ◦ Φ −1 = id (T 1 k ) ∗ Q. Aplicando la
regla de la cadena obtenemos:
δ i k = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i
∂q k
0 = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i
∂p B k
0 = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) A i
∂q j
δ i j δ A C = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) A i
∂p C j
=
w ∂Φi
=
w ∂Φi
∂qj
Φ−1 (w)
∂qj
Φ−1 (w)
∂qk
Φ−1 (w)
Φ−1 (w)
w = ∂ΦA i
w = ∂ΦA i
∂q k
De las ecuaciones (2.3-2.6) obtenemos
∂Φ s
∂q j
∂Φ A s
∂q j
= δ
Φ−1 (w) A B
∂(Φ −1 ) A j
∂p B s
Φ −1 (w) = − ∂(Φ−1 ) A j
∂q s
w
w
∂(Φ−1 ) j
+
w ∂Φi
∂q k
∂p A j
∂(Φ−1 ) j
+
w ∂Φi
∂p B k
∂p A j
∂(Φ−1 ) k
+
w ∂ΦAi ∂q j
∂p B k
∂(Φ−1 ) k
+
w ∂ΦAi ∂p C j
, δ A D
,
∂Φs ∂pC k
∂Φ A s
∂p C k
∂p B k
Φ −1 (w)
Φ −1 (w)
∂(Φ −1 ) A j
∂q k
∂(Φ −1 ) A j
∂p B k
w , (2.4)
w ,
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) B k
∂q j
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) B k
∂pC j
= − δ
Φ−1 (w) A ∂(Φ
C
−1 ) k
Φ −1 (w) = δ A C
La condición Φ ∗ H = H se escribe en coordenadas locales como sigue:
∂p D s
w , (2.5)
w . (2.6)
w
(2.7)
∂(Φ−1 ) k
. (2.8)
w
∂q s
H(q j , p B j ) = (H ◦ Φ)(q j , p B j ) = H(Φ i (q j , p B j ), Φ A i (q j , p B j )) ,
y de aquí obtenemos que para cada w ∈ (T 1 k )∗ Q se verifica
∂H
∂qj
∂H
∂p A j
w
w
= ∂H
∂q i
= ∂H
∂q i
Φ(w)
∂Φ i
∂q j
w
∂Φi
Φ(w) ∂pA
j w
+ ∂H
∂p A i
+ ∂H
∂p B i
∂Φ
Φ(w)
A i
∂qj
∂Φ
Φ(w)
B i
∂pA j
w
w
(2.9)