Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

296 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
son las componentes de la curvatura, (7.25), obtenemos que la ecuación (7.45) se
verifica trivialmente y por tanto (Y1, . . . , Yk) es solución de (7.44) si, y sólo si
[YA]B = δ B A, [YA] i = v i A,
k
A=1
YA
∂L
∂v k A
= ∂L
. (7.46)
∂qk Obsérvese que las ecuaciones (6.42) que caranterizan los campos de k-vectores
lagrangianos coinciden con las ecuaciones (7.46). Así obtenemos el resultado del
enunciado.
Observación 7.23 Si reescribimos las Proposiciones 7.16 y 7.22 en el caso particular
k = 1, obtenemos los resultados relativos a Mecánica Autónoma con conexiones
no-estándar de recogidos en A. Echeverría-Enríquez et al. [34] .
7.4. Equivalencia entre los principios variacionales:
caracterización de la energía.
Consideremos la función energía lagrangiana E∇ L asociada a una conexión ∇ en
el fibrado trivial ˆπ Rk: Rk × Q → Rk y a un lagrangiano L: Rk × T 1 k Q → R.
En esta sección demostraremos que esta función E∇ L establece la equivalencia
entre los principios variacionales asociados a la formulación k-cosimpléctica lagrangiana
y hamiltoniana, esto es, existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto
de soluciones de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl (6.6) y el conjunto de
soluciones de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange (6.34).
7.4.1. Elementos geométricos.
Comenzamos esta sección introduciendo algunos objetos geométricos que necesitaremos
a lo largo de la misma.
⋄