Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.1.1 Definición de algebroide de Lie. 145
En la definición anterior hemos utilizado la notación Sec(E) para el espacio de las
secciones del fibrado τ : E → Q, que es un C ∞ (Q)-módulo. Además hemos denotado
por ρ(σi), i = 1, 2 el campo de vectores en Q definido por: ρ(σi)(q) = ρ(σi(q)).
El siguiente diagrama nos permite visualizar las aplicaciones que intervienen en
la definición de algebroide de Lie:
ρ
E
T Q
τ
τQ
Q
La aplicación ρ, así como su asociada en el espacio de secciones,
ρ : Sec(E) → X(Q),
recibirá el nombre de ancla del algebroide.
En este capítulo vamos a pensar un algebroide de Lie como un sustituto del
fibrado tangente T Q de Q. De este modo, uno considera un elemento a de E como
una velocidad generalizada, y la velocidad real v se obtiene como la imagen por la
aplicación ancla de a, i.e. v = ρ(a).
Vamos ahora a escribir algunas expresiones locales:
Consideremos un sistema local de coordenadas (q i )1≤i≤n en una carta U ⊂ Q y
{eα}1≤α≤m una base local de secciones de τ : E → Q. Dado a ∈ E tal que τ(a) = q,
podemos escribir a = y α (a)eα(q) ∈ Eq, así las coordenadas de a son (q i (q), y α (a)).
En esta carta, la estructura de algebroide de Lie está determinada por las funciones
ρ i α, C γ
αβ ∈ C∞ (U) definidas como sigue
∂
ρ(eα) = ρ i α
∂qi , [eα, eβ ]E = C γ
α βeγ . (5.1)
Las funciones ρi α y C γ
αβ se llaman funciones de estructura del algebroide de Lie
en el sistema de coordenadas antes citado.
De las propiedades del corchete de Lie [·, ·]E y de la aplicación ancla ρ se obtiene
que estas funciones satisfacen las siguientes relaciones
ρ i ∂C
α
ν βγ
∂qi + CναµC µ
βγ = 0 , ρ j ∂ρ
α
i β ∂ρ
− ρj
∂qj β
i α
∂qj = ρiγC γ
αβ , (5.2)
cyclic(α,β,γ)
que usualmente se conocen como ecuaciones de estructura del algebroide de Lie.