Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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166 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie Observación 5.17 (1) Reescribiendo la definición de J 1 , . . . , J k en el caso particular E = T Q y ρ = idT Q obtenemos la estructura k-tangente J 1 , . . . , J k en T 1 k Q. En efecto, como ya hemos visto en la Observación 5.11, en este caso TE ( k ⊕ E) Q). Entonces cada aplicación se identifica con T (T 1 k se define como sigue: J A : T (T 1 k Q) ≡ T T Q (T 1 k Q) → T (T 1 k Q) ≡ T T Q (T 1 k Q) J A (vwq) = J A (Twq(τ k Q )(vwq), vwq) = ξ VA (Twq(τ k Q )(vwq), wq) ≡ (0q, (Twq(τ k VA Q )(vwq)) wq ) ≡ (Twq(τ k VA Q )(vwq)) wq = J A (vwq) , en donde en la primera y en la penúltima igualdad hemos utilizado la identidad entre los elementos de T (T 1 k Q) y TT Q (T 1 k Q) que hemos demostrado en la observación 5.11 y la última igualdad es consecuencia de la definición de J A , véase (1.24). (2) En el caso particular k = 1 obtenemos el endormorfismo vertical S en T E (T Q), esto es, en la prolongación del algebroide E sobre τQ : T Q → Q, que fue definido por E. Martínez en [96]. E. Las secciones de Liouville. En este apartado vamos a introducir la segunda familia de elementos geométricos canónicos que consideraremos en la prolongación TE ( k ⊕ E). Definición 5.18 La sección de Liouville A-ésima en TE ( k ⊕ E) es la sección ∆A de τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) → k ⊕ E definida como sigue ∆A : k ⊕ E → T E ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) bq ↦→ ∆A(bq) = ξ VA (prA(bq), bq) = ξ VA (bAq, bq) , 1 ≤ A ≤ k , ⋄
5.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 167 donde bq = (b1q, . . . , bkq) ∈ k ⊕ E y prA : k ⊕ E → E es la proyección sobre la A-ésima copia de E en k ⊕ E. De la expresión local (5.32) de ξ VA y teniendo en cuenta que y α (bAq) = y α A(b1q, . . . , bkq) = y α A(bq) se obtiene que la sección ∆A tiene la siguiente expresión local ∆A = m y α AV A α , 1 ≤ A ≤ k , (5.35) α=1 en la base local de secciones de τ k ⊕E dada por {Xα, V A α} y que definimos en (5.24). Observación 5.19 En el caso estándar, esto es, cuando E = T Q y ρ = idT Q se verifica que cada sección ∆A se identifica con el campo de vectores ∆A: T 1 k Q → T (T 1 k Q) vq = (v1q, . . . , vAq) ↦→ (vAq) VA vq esto es (véase definición 1.31 y observación 1.32) , con el A-ésimo campo de vectores de Liouville o campo de vectores canónico en T 1 k Q. En el formalismo lagrangiano k-simpléctico estándar los campos de vectores canónicos ∆1, . . . , ∆k, son utilizados para definir la función energía lagrangiana. De modo análogo, en el contexto que nos proporcionan los algebroides de Lie sucede algo similar ya que, como veremos en la sección 5.3.3, definiremos la función energía lagrangiana a partir de las secciones de Liouville ∆1, . . . , ∆k. 5.3.2. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. En el formalismo lagrangiano k-simpléctico estándar las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange se obtiene como secciones integrales de ciertas ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden (sopde) en T 1 k Q. ⋄
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A mi familia
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+ ∂H ∂p B j = 0 ∂H ∂qj
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A continuación multiplicamos la ex
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En efecto, consideramos la siguient
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= { + − + ∂2L ∂qj ∂vi
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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(2) ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . ,
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Apéndice C Índice de símbolos En
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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ˆπQ : R k × Q → Q (ˆπQ)1,0 :
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Conclusiones. El punto de partida d
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 381 [25] J. Cortés,
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Bibliografía 383 [50] M.J. Gotay,
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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