Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.1.1 El fibrado vectorial (T 1 k Q ×Q T 1 k Q, (τ k Q )∗τ k Q , T 1 k Q). 115
(2) Para cada A, 1 ≤ A ≤ k definimos el elemento δA ∈ Sec((τ k Q )∗τ k Q ) como sigue:
donde
δA : T 1 k Q → T 1 k Q ×Q T 1 k Q
vq ↦→ δA(vq)
δA(vq) = δ(vq, (0, . . . , 0, vAq, 0, . . . , 0)) = (vq, (0, . . . , 0, vAq, 0, . . . , 0)) . (4.2)
De modo análogo a lo que comentamos sobre la sección canónica δ, estas
secciones δA nos permitirán introducir de un modo diferente los campos de
vectores canónicos, ∆1, . . . , ∆k, en T 1 k Q, que hemos introducido en la sección
1.2.1.
(3) Cada campo de vectores X ∈ X(Q) nos permite definir k elementos
) del siguiente modo:
del conjunto Sec((τ k Q )∗ τ k Q
esto es,
A
X:= (id T 1 k Q, (0, . . . , 0, A
X, 0 . . . , 0) ◦ τ k Q) : T 1 k Q → T 1 k Q ×Q T 1 k Q
A
X (vq) = (vq, (0, . . . , A
Xq, 0, . . . , 0)), 1 ≤ A ≤ k .
Observación 4.1 El conjunto de secciones Sec((τ k Q )∗τ k Q
conjunto de campos de k-vectores en Q definidos a lo largo de τ k Q
elementos de Sec((τ k Q )∗τ k Q ) son de la forma
donde
Z = (id T 1 k Q, Z) : T 1 k Q → T 1 k Q ×Q T 1 k Q
Z : T 1 k Q → T 1 k Q, Z(q i , v i A) = (q j , Z j
B (qi , v i A))
es una aplicación diferenciable tal que τ k Q ◦ Z = τ k Q ,
T 1 k Q
τ k Q
T 1 k Q
Z
τ k
Q
Q
1
X, . . . ,
k
X
) se puede identificar con el
. En efecto, los
esto es, Z : T 1 k Q → T 1 k Q es un campo de k-vectores en Q a lo largo de τ k Q , o
equivalentemente, una sección de τ k Q a lo largo de τ k Q .